رياضي 1 و 2 تابع مثال: مثال: 2= ميباشد. R f. f:x Y Y=

Transcript

1 رياضي و رياضي و تابع تعريف تابع: متغير y را تابعي از متغير در حوزه تعريف D گويند اگر به ازاي هر از اين حوزه يا دامنه مقدار معيني براي متغير y متناظر باشد. يا براي هر ) y و ( و ) y و ( داشته باشيم ) (y y روشهاي نمايش توابع: - ضابطه تحليلي yf() مثال: y +log - ضابطه ضمني f(,y) مثال: ycos+ lny نكته: در هر صورت نمايش تابع بايد تعريف آن صادق باشد. دامنه تابع: مجموعه تمام هايي كه در معادله تابع صدق كنند را دامنه تابع گفته و با D f نمايش ميدهند. برد تابع: مجموعه تمام yهايي كه در معادله تابع صدق كند را برد تابع گفته و با R f نمايش ميدهند. انواع تابع - تابع يك به يك: - تابع پوشا: - تابع متناوب: fپوشا است اگر f f f:x Y Y R f Df f(+ T) f() دوره تناوب و :T y [ ] n ; n n+ y, >, y log, >, T نكته: دوره تناوب تابع f() در صورت متناوب بودن f با دوره T برابر 4- تابع زوج: تابع متقارن نسبت به محور yها يا f(-)f() 5- تابع فرد: تابع متقارن نسبت به مركز يا f(-)-f() 6- تابع صعودي و اكيدا صعودي: تابع اكيدا صعودي: 7- تابع نزولي و اكيدا نزولي: تابع اكيدا نزولي: ميباشد. > y > y و تابع صعودي: > y y > y < y معرفي برخي توابع خاص: - تابع جزء تصحيح: - تابع نمايي: - تابع لگاريتمي: و تابع نزولي: > y y

2 ysin : خواص ycos : خواص sin ( ) sin cos( ) cos ( ) sin + k + sin sin ( ) sin رياضي و - تابع سينوس: - تابع كسينوس: و و و تابع فرد و تابع زوج y tg, ( n ) ; n z sin ) : tg( خواص tg و tg cos y cotg و n ; n z ( ) cos + k + cos tg( + k ) tg cos( ) cos - تابع تانژانت: - تابع كتانژانت: و توجه: همانطور كه ديده شد دوره تناوب تابع سينوس و كسينوس و دوره متناوب تانژانت و كتانژانت ميباشد. sin cos, cos sin, tg cot g sin ( ± b) sin cosb ± cos sin b, cos( ± b) cos cosb sin sin b tg ± tgb cot g. cot gb ± tg( ± b ), cot g( ± b) tg. tgb cot g cot gb sin sin cos, cos cos sin cos sin tg tg tg tg, sin, cos tg + tg + tg sec + tg, cosc + cot g cos sin ± b b sin ± sin b sin cos b b b b cos + cos b cos + cos, cos cos b sin + sin sin cos b ( sin ( + b) + sin ( b) ) cos cos b ( cos( + b) + cos( b) ) sin sin b ( cos( + b) cos( b) ) f :Rf Df f() sin f Arcsin f() cos f () Arccos روابط مثلثاتي مهم: توابع معكوس و معكوس توابع R در تابع f f:df با ضابطه yf() معكوس تابع رابطه روبرو است: اگر تابعي بخواهد معكوسپذير باشد بايد حتما يك به يك باشد. Arcsin Arccos توابع مثلثاتي معكوس: نكات: Arcsin تابعي صعودي و فرد و Arccos نزولي و تابعي نه زوج و نه فرد است.

3 f() tg f () Arctg Arctg رياضي و Arctg صعودي و فرد است و برخي روابط: sin ( A rcsin ), sin ( A rccos ) cos( A rccos ), cos( A rcsin ) A rcsin + A rccos توابع هيپربولك و معكوس هيپربوليك e e e + e sinh e e e sinh, cosh, tgh cosh e + e e + cosh sinh cosh cosh + sinh, sinh sinh cosh tgh cosh, sinh tgh tgh sin و cos و tg را با i sinh و cosh و i tgh (كه - (i عوض كنيم sinh ln (,] ميباشد. در نتيجه تابع ycosh به دو شاخه يك نكته: اگر در هر يك از اتحادهاي مثلثاتي [, ) اتحادهاي هيپربوليك حاصل ميشوند. (, ] تابع معكوس :sinh تابع cosh دربازه نزولي و دربازه مقداري كه به ازاي معين هستند تقسيم ميشوند. لذا: صعودي است. برد آن cosh ln, cosh ln + ln ln + پس تابع cosh تابعي زوج است. Sinh و tgh نيز توابعي فرد هستند. از آنجا كه tgh + ln تابع معكوس :tgh حد و پيوستگي lim f () f () lim f () f () lim f () f () + به ازاي كدام مقدار و اگر اگر اگر مثال: باشد f را در پيوسته گوي يم. باشد f را در پيوسته چپ گوي يم. باشد f را در پيوسته راست گوي يم. b تابع f با ضابطةزير در پيوسته است > f() [ ] + b f + ( ), f( ) + b, f() + b b, حل :

4 رياضي و نكته: اگر تابع f در حد داشته باشد ولي تعريف نشده باشد ميتوان با تعريف f() برابر حد تابع در تابع را پيوسته كرد. به اين نقطه «رفع شدني» گويند. f lim + lim lim + e f() مثال: ()f چند باشد تا تابع حل: مشتق و كاربرد آن در پيوسته باشد. f() f() f ( در گوي يم. مشتقپذيري: تابع f را در مشتقپذير گوي يم هرگاه lim موجود باشد كه آن را مشتق تابع ) f f( + ) f ( lim (فرمول دوم مشتق f() f() f() f() +f :مشتق راست lim ) : f ( مشتق چپ و lim + ) lim f ( لزوما برابر نيستند. f و حد آن نكته : نكته : براي محاسبة برخي مشتقها استفاده از تعريف مناسبتر است. f,y R:f( + y) f() + f(y) + y, lim b مثال: اگر تابع f در شرط روبرو صدق كند ( ( f كدام است f f f + f f + f + f f f lim lim lim lim + b + همانطور كه در مثال ديده شد گاهي در حل مسايل لازم است از فرمول دوم مشتق استفاده كنيم. حل : نكته: از آنجا كه مشتق شيب خط مماس در نقطة مفروض است لذا جهت محاسبه معادلة خطهاي مماس يا عمود بر منحنيها از آن استفاده ميشود. قضاياي مشتق: u + v w u + v w uvw u vw + uv w + uvw - مشتق مجموع تعداد متناهي از توابع برابر مجموع مشتقات آنهاست: - مشتق حاصلضرب دو تابع: uv uv u v + به همين صورت: u به همين صورت: u u f g() g'()f g() ( ) : u uv uv v v - مشتق خارج قسمت دو تابع: 4- مشتق تابع مركب 4

5 رياضي و مشتق توابعي نكته: كه به صورت حاصلضرب ميباشند و نيز توابع تواني را ميتوان با گرفتن Ln و استفاده از فرمول بالا محاسبه كرد. y sin cos مثال: مشتق تابع را محاسبه كنيد. حل: ) ( Lny cos Ln sin حال از دو طرف مشتق ميگيريم: y cos cos cos sin ( Ln sin ) + cos y sin sin ( Ln sin ) y sin sin ( f ) f f ( ) + Ln, Ln ( ) ( Arccos ),( Arcsin ) ( tg) + tg, ( Arctg ) ; ( cot g) ( + cot g ), ( Arc cot g) + + ( n) n n! ( n ) n, sin sin n + مشتق n ام: + sinh cosh, cosh sinh m m tgθ + mm y m + h 5- مشتق تابع معكوس: مشتقات معروف : نكته: زاوية بين دو خط ym+h و - اگر mm باشد دو خط بر هم عمودند. برابر است با: AH و b + by + c + b + by + c از خط (,y) نكته: فاصله نقطه برابر است با: f() y را استفاده مينماي يم. و نقطة مماس براي يافتن معادلة خط مماس بر منحني از نقطهاي خارج از منحني رابطة f() شيب را مييابيم سپس از رابطة ()() y b f معادله را مينويسيم. F(X) y براي يافتن معادلة خط عمود بر منحني از نقطة خارج آن از رابطة استفاده ميكنيم. f() f() f () lim lim g() g () قاعدة هوپيتال: يا يا يا...) ميتوان از آن استفاده كرد: در محاسبه حدهاي مبهم ) شرط استفاده از اين قاعده مشتقپذيري f و g در است. نكته: در محاسبة حدهاي يا مشابه بايد از دو طرف ln بگيريم و با ايجاد كسر فوق از قاعدة هوپيتال استفاده نماي يم. 5

6 رياضي و f () c + c ( ) + c ( )... c n + + n( ) +... ; f (n) () cn n! f() f() f (n) () f () f n +...!! n! n Ln( + ) +... e !! n! 5 n+ 4 n sinh cosh ! 5! n +!! 4! ( n)! 5 4 sin +..., cos +...! 5!! 4! f() g() f() g () f () f() سري تيلور: بسط مك لورن: بسطهاي مهم: مشتق تابع قدر مطلق: آهنگ تغيير كميتهاي وابسته: براي حل مسايل مربوط به اين قسمت ابتدا بايد تابع ضمني را بيابيد سپس نسبت به متغير خواسته شده مشتق بگيريد. مثال: در شكل شخصي با قد H و با سرعت V به سمت تير چراغي به ارتفاع H حركت ميكند. سرعت ساية شخص را بر حسب h و H و V به دست آوريد. (به مقادير ثابت و متغير بايد دقت كنيد) حل: فاصله سايه سر تا چراغ y و فاصلة شخص تا چراغ y h d d dy dy H (H h)y H, V H + (H h) V y H dt dt dt dt H h f dy d f y h V f() f () ( tgα + f ()f () H f(,y) نقاط بحراني: نكته: اگر بين و y رابطة نقطهاي كه در آن يكي از دو شرط روبرو برقرار باشد: برقرار باشد در اين صورت مشتق y برابر است با: f() موجود نباشد. ( f() ( انواع نقاط بحراني: - نقاط ناپيوستگي تابع - نقاط زاويهدار (نكته: زاوية بين دو مماس برابر است با : - نقاط بازگشت: مشتقهاي چپ و راست مختلف العلامه - نقاط عطف قاي م: مشتقهاي چپ و راست هم علامت- تقعر منحني تغيير ميكند. ("y تغيير علامت ميدهد) - نقاط عطف افقي: مشتقهاي چپ و راست مختلفالعلامه- تقعر منحني تغيير ميكند ("y تغيير علامت ميدهد) - نقاط ماكزيمم و مينيمم نسبي: مشتق صفر و تغيير علامت مشتق قضيه رل: اگر تابع f در بازه [b,] پيوسته و در بازة (b,) مشتقپذير باشد و نيز f(b) f() آنگاه وجود دارد يك نقطة c در بازه (b,) به قسمي كه. f(c) 6

7 رياضي و قضيه مقدار ميانگين: اگر تابع f در بازه [b,] پيوسته و در (b,) مشتقپذير باشد آنگاه وجود دارد نقطة c در بازة (b,) به طوري كه f (c) f(b) f() g (c) g(b) g() f(b) f(). f(c) b قضية كوشي: تعميم قضية مقدار ميانگين اگر f و g پيوسته ودر (b,) مشتقپذير باشند f() Arcsin حل: مثال: مقدار c در قضية مقدار ميانگين تابع وقتي باشد را تعيين كنيد. 4 f() ; f(), f() c c قضيه نامساوي: اگر g و f در بازة (,) مشتقپذير بوده و به ازاي هر > داشته باشيم g'() f'() همچنين f و g در داراي مقادير مساوي باشند آنگاه خواهيم داشت g(). f() قضيه مقدار مياني: اگر تابع f در بازه [b,] پيوسته باشد آنگاه f() هر مقداري را بين f() و f(b) در بازه [b,] اختيار ميكند. تعيين كنيد., مثال: تعداد ريشههاي معادلة sin را در بازه f() sin ; f( ), f, است و همچنين f() صعودي است در نتيجه در اين بازه معادله دقيقا يك ريشه دارد. در نتيجه چون قضيه تله موش: اگر f و g در داراي حدي برابر باشند (L) و در يك همسايگي داشته باشيم: g() h() f() داراي حدي برابر L است. نمونه سوالات - حد مقابل كدام است در اين صورت تابع f نيز در Arctg Arcsin lim (4 ( ( ( ) f داراي نقطه عطف است 4) معادله f() دو ريشة حقيقي داد صدق ميكند. كدام صحيح است Ln f() - تابع f در رابطه ) f تنها داراي دو مينيمم نسبي است f() دو ريشة حقيقي دارد ) معادلة {} (4 (4 g() f() f( ) و آنگاه دامنة تابع كدام است [, ] ( (,y :f(,y) f()f(y) [, ) ( f() e ( ) - اگر R ( 4- مشتق دهم تابع در كدام است 0 ( 9 ( 7

8 باشد. ) f( رياضي و 5- ضريب زاوية خط قاي م بر منحني تابع معكوس تابع yf() در هر نقطه (y,) روي آن برابر + y ميباشد. اگر ( )f كدام است 7 (4-6 ( + Arctg Arcsin A lim lim 6-5 ( ( حل نمونه سو الات: -: صحيح است. با استفاده از مك لورن توابع 4-: صحيح است. با استفاده از مك لورن توابع f () ± ; y lim f () +, lim f () + نقطههاي (,) و ), ( و (,) همه مينيمم نسبي هستند و f"() + > منحني نقطة عطف ندارد. معادلة < f() داراي چهار ريشة حقيقي است. معادلة f() دو ريشة حقيقي مثبت يكي و ديگري > دارد. -: صحيح است. با استفاده از مك لورن توابع f() g() D g n f ( + ) ( + ) e f ( + ) ( + + )( ) C0 + +! n! 8! 9! 0! f ( 0) 0!C0-4: صحيح است. با استفاده از مك لورن توابع -5: صحيح است. با استفاده از مك لورن توابع m f (y) y+ f(y) y y+ c f( ) c f(y) y y+ f 5 (f ) 8